Materi Matematika Terapan ( Rudi Pasang,S.Pd )
Kamis, 11 September 2014
Persamaan Linier
3x + 2y = 10500
2x + 3y = 9500
Berapa nilai 3x + 3y ?
Jawab:
3x + 2y = 10500 | x 2 | 6x + 4y =
21000
2x + 3y = 9500 | x 3 | 6x + 9y = 28500 -
-
5y = - 7500
-
y = - 1500
y = 1500
Nilai y = 1500 disubstitusikan ke
pers (1)
3x + 2y = 10500
3x + 2(1500) = 10500
3x + 3000 = 10500
3x = 10500 - 3000
= 7500
x = 7500 / 3
= 2500
Maka, nilai dari 3x + 3y = 3(2500)
+ 3(1500)
= 7500 +
4500
= 12000
* Ibu Andi membeli 3 kg apel dan 2
kg anggur dengan harga Rp 60.000, pada saat yang bersamaan Ibu Ana membeli 5 kg
apel dan 1 kg anggur dengan membayar Rp 65.000.
Diskusikan bagaimana menghitung
harga tiap kilogram apel dan anggur!
Jawab:
Misal, apel = x dan anggur = y,
maka:
3x + 2y = 60000 | x 1 | 3x + 2y = 60000
5x + y = 65000 | x 2 | 10x + 2y = 130000 -
-
7x = - 70000
x = 10000
3x + 2y = 60000
3(10000) + 2y = 60000
30000 + 2y = 60000
2y = 60000 - 30000
= 30000
y = 30000 / 2
= 15000
Dengan cara substitusi:
3x + 2y = 10500
2x + 3y = 9500 -> 2x = 9500 -
3x
x = 9500 -
3y
2
=> 3 ( 9500 - 3y ) + 2y = 10500
2
=> 28500 - 9y + 2y = 10500 | x2
2
=> 28500 - 9y + 4y = 21000
28500 - 5y = 21000
- 5y = 21000 - 28000
- 5y = - 7500
y = 1500
5x + y = 65000
y = 65000 - 5x
3x + 2y = 60000
3x + 2 (65000 - 5x) = 60000
3x + 130000 - 10x = 60000
- 7x = - 70000
x = 10000
y = 65000 - 5x
= 65000 - 5(10000)
= 65000 - 50000
= 15000
* Suatu latihan perang melibatkan
1000 personil tentara dan 100 ton perlengkapan perang. Untuk menuju lokasi
latihan disediakan pesawat Hercules dengan kapasitas 50 orang dan 10 ton
perlengkapan perang. Pesawat helikopter dengan kapasitas 40 orang dan 3 ton
perlengkappan perang. Diskusikan berapa banyak masing-masing pesawat yang
dibutuhkan untuk mengangkut semua tentara dan semua perlengkapan dalam 1 kali
pemberamgkatan!
Jawab:
Hercules Helikopter Jumlah
Pesonil 50 40 1000
Perlengkapan 10 3 100
Maka persamaannya adalah:
50x + 40y = 1000 | x 1 | 50x + 40y
= 1000
10x + 3y = 100 | x 5 | 50x + 15y
= 500 -
25 y = 500
y = 20
10x + 3y = 100
10x + 3(20) = 100
10x + 60 = 100
10x = 40
x = 4
Selasa, 23 September 2014
Matriks
2x + y = 7
x + 2y = 8
2 1
x = 7
1 2
y 8
Determinan matriks = 2x2 - 1x1 = 3
Det x = 7 1
8 2
=> 7x2 - 8x1 = 6
Det y = 2 7
1 8
=> 2x8 - 7x1 = 9
Nilai x = det x / det
= 6 / 3 = 2
Nilai y = det y / det
= 9 / 3 = 3
Contoh soal:
Harga karcis bis untuk anak Rp
20.000,00 dan untuk dewasa Rp 30.000,00. Terjual 180 karcis dalam seminggu
dengan hasil penjualan Rp 4.200.000. Tentukan banyaknya karcis anak dan dewasa
yang terjual dalam minggu tersebut!
Jawab:
Misalkan, x = anak dan y =
dewasa, maka persamaannya:
20,000x + 30.000y = 4.200.000
x + y = 180
=> 20.000 30.000 = 4.200.000
1 1 180
Det matriks = 20.000x1 - 30.000x1
= -10.000
Det x = 4.200.000 30.000
180 1
=> 4.200.000 - 5.400.000 =
-1.200.000
Det y = 20.000 4.200.000
1 180
=> 3.600.000 - 4.200.000 =
-600.000
Nilai x = -1.200.000 / -10.000 =
120
Nilai y = -600.000 / -10.000 = 60
# Siti dan teman-temannya makan
disebuah warung, mereka memesan 3 ayam penyet dan 2 gelas es jeruk. Kemudian
Beni dan kawan-kawannya memesan 5 porsi ayam penyet dan 3 gelas es jeruk. Jika
Siti membayar semua pesanannya Rp 70.000 dan Beni membayar Rp 115.000. Berapa
harga satu porsi ayam penyet dan satu gelas es jeruk?
Jawab:
Misalkan, x = ayam penyet dan y =
es jeruk, maka persamaannya:
3x + 2y = 70.000
5x + 3y = 115.000
=> 3 2 = 70.000
5 3
115.000
Det matriks = 3x3 - 5x2 = -1
Det x = 70.000 2
115.00 3
=> 70.000x3 - 115.000x2
= 210.000 - 230.000
= - 20.000
Det y = 3 70.000
5 115.000
=> 3x115.000 - 5x70.000
= 345.000 = 350.000
= - 5.000
Nilai x = -20.000 / -1 = 20.000
Nilai y = -50.00/ -1 = 5.000
Kamis, 25 September 2014
Penyelesaian Persamaan Linier
dengan Metode Gauss
=> Tentukan nilai a, b, c, d
dari persamaan di bawah ini:
-a + 2b - 3c + 4d = 20
4a - 3b + 2c - d = 0
2a - 2b - 2c + 2d = 0
5a + 4b - c - d = 12
Tahap yang digunakan:
1) Menyusun matriks:
-1 2 -3 4 20
4 -3 2 -1 0
2 -2 -2 2 0
5 4 1 -1 12
Keterangan
Baris pertama merupakan persamaan
petama
Baris kedua merupakan persamaan
kedua
Baris ketiga merupakan persamaan
ketiga
Baris keempat merupakan persamaan
keempat
2) Mengubah matriks menjadi
eselon-baris
Eselon baris merupakan matriks
dengan ketentuan:
a. Angka pertama pada baris
pertama adalah 1
b. Angka pertama pada baris
setelah baris pertama adalah nol
c. Angka 1 pada baris setelah
baris pertama berada lebih kanan daripada angka 1 pada baris sebelumnya.
Untuk mengubah matriks dari
persamaan linier menjadi eselon-baris maka;
-1 2 -3 4 20-> dikali (-1)
4 -3 2 -1 0
*ket: untuk mengubah angka 1 pada baris pertama kolom pertama maka
harus
2 -2 -2 2 0 dikali (-1).
5
4 1 -1 12
Diagonal -1, -3, -2, -1 diubah
menjadi 1
Segitiga 4, 2, 5, -2, 4, -1
diubah menjadi 0
*ket: untuk mengubah angka 4 pada
baris kedua 1 -2 3 -4 -20
kolom pertama menjadi 0 (B2 - 4B1 dst) -> 4 -3 2 -1 0
2 -2 -2 2 0
5 4 1 -1 12
1 -2 3 -4
-20 *ket: untuk mengubah angka 5 pada
baris kedua
0
5 -10 15 80 <- kolom kedua
menjadi 1 ( B2 : 5 dst)
2 -2 -2
2 0
5
4 1 -1 12
Untuk mengubah angka 2 pada baris
ketiga 1 -2 3 -4 -20
kolom pertama menjadi 0 (A3 - 2A1
dst) ->0 1
-2 3 16
2 -2
-2 2 0
5 4 1 -1 12
1 -2 3 -4
-20 Untuk mengubah angka 2 pada baris
ketiga kolom kedua menjadi 0
0
1 -2 3
16 tanpa mengubah angka 0 ada
baris ketiha kolom pertama (B3 - 2B1 dst)
0
2 -8 10
40
5
4 1 -1 12
1 -2 3 -4
-20
0 1
-2 3 16
0 0 -4
4 8 <- B3 / (-4)
5 4
1 -1 12
1 -2
3 -4 -20
0
1 -2 3 16
0
0 1 -1 2
5 4
1 -1 12 <-
B4 - 5 B1
1 -2 3 -4
-20
0 1
-2 3 16
0 0
1 -1 2
0 14 -16 19 112
1 -2 3 -4
-20
0
1 -2 3 16
0
0 1 -1 2
0
0 0 -11
-88 <- B4 / -11
1 -2 3 -4
-20
0
1 -2 3 16
0
0 1 -1 2
0
0 0 1 8
Dari matriks diperoleh nilai, d =
8
Jika nilai d disubstitusikan ke
persamaan 3
c - d = -2
c = -2 + d
= -2 + 8 = 6
Nilai c dan d disubstitusikan ke
persamaan 2
b - 2c + 3d = 16
b = 16 + 2c - 3d
= 16 + 2(6) - 3(8)
= 16 + 12 - 24 = 4
Nilai b, c, d disubtitusikan ke
persamaan 1
a - 2b + 3c - 4d = -20
a = -20 + 2b - 3c + 4d
= -20 + 2(4) - 3(6) +
4(8)
= -20 + 8 - 18 + 32 =
-2
Kamis, 9 Oktober 2014
Invers Matriks
x - 2y = -5
5x + 4y = 13
Bentuk matriks
1 -2 x = -5
5
4 y 13
1
4 5 = 1 4 5
1x4 - 5x(-2) -2
1 14
-2 1
= 4/14 2/14
-5/14 1/14
1 -2 4/14 2/14
= 1 0
5 4 -5/14 1/14 0 1
4/14 2/14 -5 = 4/14(-5) + 2/14(13)
-5/14 1/14 13
-5/14(-5) + 1/14(13)
= -20+26 / 14 = 6/14 =
3/7
25+13 / 14 38/14
19/7
x = 3/7
y 19/7
Persamaan Kuadrat
1. Cara faktorisasi
y = ax2 + bx + c = (x+p) (x+q)
Contoh:
x2 - x - 6 = 0
a = 1, b = -1, c = -6
Faktor dari 6 adalah 2 dan 3
(2) + (-3) = -1
(2) x (-3) = -6
=> (x+2) (x-3) = 0
• 2x2 + 6x + 4 = (2x+2) (x+2)
2x=-2 x=-2
x=-1 x=-2
• x2 + 6x - 7 = (x-1) (x+7)
x=1 x=-7
• 8x2 + 18x - 5 = 0
(2x+5) (4x-1)
2x=-5
4x=1
x=-5/2
x=1/4
• 5x2 + 4x - 12 = 0
(5x-6) (x+2)
5x=6 x=-2
x=6/5 x=-2
2. Kuadrat sempurna
Contoh: x2 + 4x - 12 = 0
Cara 1
x2 + 4x - 12 = 0
[ax2 + bx + (1/2b2) = c + (1/2b)2]
x2 + 4x + (1/2.4)2 = 12 + (1/2.4)2
x2 + 4x + 4 = 12 + 4
x2 + 4x + 4 = 16
(x + 2)2 = ±16
(x + 2) = ±√16
x + 2 = ±4
x + 2 = 4 x + 2 = -4
x= 4-2 = 2 x = -4 - 2 = -6
Cara 2
[P = B/2] (x + p)2 = q
= 4/2 = 2 (x+2)2 = 16
Q = (B/2)2 - C x + 2 = √16
= (4/2)2 + 12
x + 2 = ±4
= 4 + 12 = 16 x1 = 4 - 2 = 2
x2 = -4 - 2 = -6
* Tentukan himpunan penyelesaian
dari 3x2 + 9x + 6
dengan menggunakan rumus ABC!
Dik: a = 3, b = 9 dan c = 6
X = -b±√b2 - 4ac
2a
= -9±√92
- 4(3)(6) X1 = -9
+ 3
2 (3) 6
= -9±√81-72 = -6/6 = -1
6
= -9±√9 X2 = -9 - 3
6
6
= -9±3 = -12/6
= -2
6
Rumus Trigonometri
Sin (a+b) = sin a cos b + cos a
sin b
Sin (a-b) = sin a cos b - cos a
sin b
Cos (a+b) = cos a cos b - sin a
sin b
Cos (a-b) = cos a cos b + sin a
sin b
Sin 2a = sin (a+a)
= sin a cos a + cos a sin a
= 2 sin a cos a
Sin 4a = sin (2a+2a)
= sin 2a cos 2a + cos 2a sin 2a
= 2sin 2a cos 2a
Sin 2a = 2sin 1/2(2a) cos 1/2(2a)
= 2sin a cos a
Sin 6a = 2sin 1/2(6a) cos 1/2(6a)
= 2sin 3a cos 3a
Sin 5a = 2sin 1/2(5a) cos 1/2(5a)
= 2 sin 5/2a cos 5/2a
(Cos 30)2 + (sin 30)2
= (1/2√3)2+ (1/2)2
= (1/4√9) + 1/4
= 3/4 + 1/4 = 1
(Cos 45)2 + (sin 45)2
= (1/2√2)2+ (1/2√2)2
= (1/4√4) + (1/4√4)
= 2/4 + 2/4 = 1
(Cos 60)2 + (sin 60)2
= (1/2)2 + (1/2√3)2
= 1/4 + (1/4√9)
= 1/4 + 3/4 = 1
Cos 2a = cos (a+a)
= cos a cos a - sin a sin a
Cos 2a = cos2a - sin2a
Cos2a+sin2a
= 1
Sin2a = 1 - cos2a
Cos 2a = cos2a - sin2a
= cos2a - (1-cos2a)
= cos2a - 1 + cos2a
Cos2a = 2cos2a
- 1
Cos 4a = cos (2a+2a)
= cos 2a cos 2a - sin 2a sin 2a
= cos22a - sin22a
= cos22a - (1-cos22a)
= cos22a - 1 + cos22a
Cos 4a = 2 cos22a - 1
Cos2a tidak sama dengan cos a2
(Cos30)2 tidak sama dengan cos(30)2
= (1/2√3)2 = cos 900
No comments:
Post a Comment